项目名称：非线性椭圆型微分方程奇异初值和边值问题解的定性理论和渐近行为

项目负责人：张志军

项目简介：非线性椭圆型微分方程奇异初值和边值问题解的定性理论和渐近行为,由烟台大学张志军、中国科学院大学孙义静、中国矿业大学(北京)张淑琴和研究生组成的课题组完成。七年来, 应用摄动方法、渐近分析方法、Karamata正规变化理论、非线性泛函分析中的广义上下解方法、单调迭代方法、不动点理论和临界点理论, 结合二阶椭圆型偏微分方程理论和分数阶微积分方程理论, 对三大类重要和典型的模型问题进行了深入系统的研究, 取得了一系列创新的高水平成果。8篇代表性论文有4篇在国际顶级期刊《J. Differential Equations》、《Calculus of Variations and Partial Differential Equations》和《Journal of Functional Analysis》上, SCI 他人引用369篇次, 共被他人引用503 篇次，研究工作8次获得国家自然科学基金面上项目的资助(完成6项, 在研2项)。

主要创新点：对边界blow-up的(完全)非线性椭圆型方程解的精确渐近行为、奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet 问题和分数阶微分方程的奇异边值问题和初值问题解的存在性、唯一性、临界指数、临界参数、突变解、解在边界附近的精确渐近行为等进行了深入系统的研究，给出非线性项在无穷远处变化的统一的结构条件并准确地表示出解在边界附近的最优渐近行为；部分地解决了解的唯一性问题；对广泛的非线性项,建立了解在边界附近的二次展开式；刻画了古典解不是弱解的内涵；给出了临界参数一致下界的精确计算公式、构建了解的存在性理论；解决了本领域公认的4个开问题, 部分地解决了其它的两个开问题。

客观评价：我们的工作引发了J. Lopez-Gomez (Metasolutions of parabolic equations in population dynamics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2016)、李东升和马珊珊 (J. Functional Analysis 276 (2019) 2969-2989.)、 张学梅与杜一宏、冯美强 (Calculus of Variations and Partial Differential Equations 57 (2018) 1-30; J. Differential Equations 267 (2019) 4626-4672)、A. Mohammed等 (Proc. Edinb. Math. Soc. 2016, 59, 959-987.) 、黄水波与穆春来、王明新和李万同 (Z. Angew. Math. Phys. 67 (2016), no. 1, Art. 3, 20 pp; Differential Integral Equations 26 (2013) 675-692; Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 142 (2012), no. 4, 825-837; Nonlinear Anal. 74 (2011), no. 6, 2342-2350; Nonlinear Anal. 74 (2011), no. 5, 2031-2044.)、王伟与郑斯宁(J. Differential Equations 256 (2014) 3721–3742.)、F. Oliva, F. Petitta (J. Differential Equations 264 (2018) 311-340.)、V. De Cicco, D. Giachetti, F. Oliva, F. Petitta (Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 58 (2019), 129, pp 40.)、A. Fiscella, P. K. Mishra (Nonlinear Analysis 186 (2019) 6-32)、Yaoping Chen, Jianqing Chen (J. Math. Anal. Appl. 429 (2015) 873-900.) 等学者的一系列工作。比如，专著 J. Lopez-Gomez (Metasolutions of parabolic equations in population dynamics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2016) 第206页评价了我们的工作：关于本书所涵盖的方程的大解唯一性的文献以及其他与梯度项、奇异系数甚至p(x)-拉普拉斯算子有关的方程，都是非常大的. 感兴趣的读者不妨看看Z. Zhang [246, 247, 248, 249, 250, 251, 252], … , Z. Zhang, Y. Ma, L. Mi and X. Li [253], …, Z. Zhang and L. Mi [254], …。 此处, [246, 247, 248, 249, 250, 251] 是我们的其它工作, [252]是我们的代表性论文[5], [253] 是我们的代表性论文[1]， 该项工作2020年获山东省自然科学奖二等奖。